72В. Решите неравенство  \(\sqrt {3 \cdot {4^x}-5 \cdot {2^{x + 1}} + 3}  \ge {2^x}-3\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_2}3} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\sqrt {3 \cdot {4^x}-5 \cdot {2^{x + 1}} + 3}  \ge {2^x}-3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {3 \cdot {2^{2x}}-10 \cdot {2^x} + 3}  \ge {2^x}-3.\)

Пусть  \({2^x} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \(\sqrt {3{t^2}-10t + 3}  \ge t-3.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{t^2}-10t + 3 \ge 0,}\\{t-3 < 0\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\,\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-3 \ge 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{3{t^2}-10t + 3 \ge {{\left( {t-3} \right)}^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t-3} \right)\left( {3t-1} \right) \ge 0,}\\{t < 3\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 3,\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t^2}-2t-3 \ge 0}\end{array}\;\;\;\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t-3} \right)\left( {3t-1} \right) \ge 0,}\\{t < 3\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 3,\;\;\,\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {t-3} \right)\left( {t + 1} \right) \ge 0}\end{array}\;\,\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \frac{1}{3},}\\{t \ge 3\;\,}\end{array}} \right.}\\{t < 3\;\,\;\,}\end{array}\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 3,\;\,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,}\\{t \ge 3\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \frac{1}{3},}\\{t \ge 3.\;\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le \frac{1}{3},}\\{{2^x} \ge 3\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le {2^{{{\log }_2}\frac{1}{3}}},\,}\\{{2^x} \ge {2^{{{\log }_2}3}}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -{{\log }_2}3,}\\{x \ge {{\log }_2}3.\,\;\;}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-{{\log }_2}3} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_2}3} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3;\;\infty } \right).\)