73В. Решите неравенство \({2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-{2^{\frac{{5x + 3}}{{x + 1}}}} + 8 \le {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}\).
\({2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-{2^{\frac{{5x + 3}}{{x + 1}}}} + 8 \le {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\;{2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-{2^{\frac{{3x + 3 + 2x}}{{x + 1}}}} + 8 \le {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-{2^{3 + \frac{{2x}}{{x + 1}}}} + 8 \le {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;{2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-8 \cdot {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}} + 8-{2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;9 \cdot {2^{\frac{{2x}}{{x + 1}}}}-{2^{\frac{x}{{x + 1}}}}-8 \ge 0.\) Пусть \({2^{\frac{x}{{x + 1}}}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(9{t^2}-t-8 \ge 0.\) \(9{t^2}-t-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\,}\\{{t} = -\frac{8}{9}.}\end{array}} \right.\) \(9{t^2}-t-8 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {9t + 8} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -\frac{8}{9},}\\{t \ge 1\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\frac{x}{{x + \,1}}}} \le -\frac{8}{9},}\\{{2^{\frac{x}{{x + \,1}}}} \ge 1\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\frac{x}{{x + \,1}}}} \le -\frac{8}{9},}\\{{2^{\frac{x}{{x + \,1}}}} \ge {2^0}\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\,\;\,}\\{\frac{x}{{x + 1}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{x}{{x + 1}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-1} \right) \cup \left[ {0;\;\infty } \right).\)
