74В. Решите неравенство \({9^{\sqrt x }} \le 6 \cdot {9^x}-5 \cdot {3^{\sqrt x }} \cdot {3^x}\).
\({9^{\sqrt x }} \le 6 \cdot {9^x}-5 \cdot {3^{\sqrt x }} \cdot {3^x}.\) Запишем ОДЗ: \(x \ge 0.\) \({9^{\sqrt x }}-6 \cdot {9^x} + 5 \cdot {3^{\sqrt x }} \cdot {3^x} \le 0\left| {:{9^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{9^{\sqrt x }}}}{{{9^x}}}-6 + \frac{{5 \cdot {3^{\sqrt x }} \cdot {3^x}}}{{{3^x} \cdot {3^x}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{9^{\sqrt x -x}} + 5 \cdot {3^{\sqrt x -x}}-6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2\left( {\sqrt x -x} \right)}} + 5 \cdot {3^{\sqrt x -x}}-6 \le 0.\) Пусть \({3^{\sqrt x -x}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} + 5t-6 \le 0.\) \({t^2} + 5t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -6,}\\{{t} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) \({t^2} + 5t-6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 6} \right)\left( {t-1} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(-6 \le t \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-6 \le {3^{\sqrt x -x}} \le {3^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\sqrt x -x}} \ge -6,}\\{{3^{\sqrt x -x}} \le {3^0}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\,\,}\\{\sqrt x \le x.}\end{array}} \right.\) Так как \(x \ge 0\), то обе части последнего неравенства неотрицательны. Поэтому: \(\sqrt x \le x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \ge 0,\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\)