75В. Решите неравенство \({25^{\sqrt x }} \le 4 \cdot {25^x}-3 \cdot {5^{\sqrt x }} \cdot {5^x}\).
\({25^{\sqrt x }} \le 4 \cdot {25^x}-3 \cdot {5^{\sqrt x }} \cdot {5^x}.\) Запишем ОДЗ: \(x \ge 0.\) \({25^{\sqrt x }}-4 \cdot {25^x} + 3 \cdot {5^{\sqrt x }} \cdot {5^x} \le 0\left| {:{{25}^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{25}^{\sqrt x }}}}{{{{25}^x}}}-4 + \frac{{3 \cdot {5^{\sqrt x }} \cdot {5^x}}}{{{5^x} \cdot {5^x}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^{\sqrt x -x}} + 3 \cdot {5^{\sqrt x -x}}-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2\left( {\sqrt x -x} \right)}} + 3 \cdot {5^{\sqrt x -x}}-4 \le 0.\) Пусть \({5^{\sqrt x -x}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} + 3t-4 \le 0.\) \({t^2} + 3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -4,}\\{{t} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) \({t^2} + 3t-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 4} \right)\left( {t-1} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(-4 \le t \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4 \le {5^{\sqrt x -x}} \le {5^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\sqrt x -x}} \ge -4,}\\{{5^{\sqrt x -x}} \le {5^0}\;\,}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\,\,}\\{\sqrt x \le x.}\end{array}} \right.\) Так как \(x \ge 0\), то обе части последнего неравенства неотрицательны. Поэтому: \(\sqrt x \le x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {x^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Так как ОДЗ \(x \ge 0,\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left\{ 0 \right\} \cup \left[ {1;\infty } \right).\)