76В. Решите неравенство \({4^x} + \left( {x-13} \right)\,{2^x}-2x + 22 < 0\).
\({4^x} + \left( {x-13} \right)\,{2^x}-2x + 22 < 0.\) Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} + \left( {x-13} \right)t-2x + 22 < 0.\) \({t^2} + \left( {x-13} \right)t-2x + 22 = 0;\;\;\;\;\;\;\;\;D = {\left( {x-13} \right)^2} + 8x-88 = {x^2}-18x + 81 = {\left( {x-9} \right)^2},\) \(\sqrt D = x-9;\;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -x + 11,}\\{{t} = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) \({t^2} + \left( {x-13} \right)t-2x + 22 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + x-11} \right)\left( {t-2} \right) < 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left( {{2^x} + x-11} \right)\left( {{2^x}-2} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{2^x} + x-11} \right)\left( {{2^x}-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} + x-11 = 0,}\\{{2^x} = {2^1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 11-x,}\\{x = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение \({2^x} = 11-x.\) Левая часть \({2^x}\) показательная функция с основанием больше 1, то есть является возрастающей, а правая часть \(11-x\) линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, равным \(-1,\) то есть является убывающей. Следовательно, эти функции могут пересекаться максимум в одной точке, а уравнение \({2^x} = 11-x\) может иметь не более одного корня. Заметим, что корнем является \(x = 3.\) Поэтому: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} = 11-x,}\\{x = 1\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;\,3} \right).\) Ответ: \(\left( {1;\,3} \right).\)