77В. Решите неравенство  \({4^{x-3}}-{2^{x-3}}\left( {16-{x^2}} \right)-16{x^2} \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\,7;\,\infty } \right).\)

Решение

\({4^{x-3}}-{2^{x-3}}\left( {16-{x^2}} \right)-16{x^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{4^{x-3}}-16 \cdot {2^{x-3}} + {x^2} \cdot {2^{x-3}}-16{x^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;{2^{x-3}}\left( {{2^{x-3}} + {x^2}} \right)-16\left( {{2^{x-3}} + {x^2}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {{2^{x-3}}-16} \right)\left( {{2^{x-3}} + {x^2}} \right) \ge 0.\)

Так как  \({2^{x-3}} + {x^2} > 0\)  при  \(x \in R,\)  то:

\(\left( {{2^{x-3}}-16} \right)\left( {{2^{x-3}} + {x^2}} \right) \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{x-3}}-16 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{x-3}} \ge {2^4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge 7.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\,7;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {\,7;\,\infty } \right).\)