78В. Решите неравенство  \({2^{x + 1}} + \frac{9}{x}-\frac{{3 \cdot {2^x}}}{x} \ge 6\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\,0;\,\frac{3}{2}\,} \right] \cup \left[ {\,{{\log }_2}3;\,\infty } \right).\)

Решение

\({2^{x + 1}} + \frac{9}{x}-\frac{{3 \cdot {2^x}}}{x} \ge 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;2 \cdot {2^x} + \frac{9}{x}-\frac{{3 \cdot {2^x}}}{x}-6 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\frac{{2x \cdot {2^x} + 9-3 \cdot {2^x}-6x}}{x} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{2x\left( {{2^x}-3} \right)-3\left( {{2^x}-3} \right)}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{\left( {2x-3} \right)\left( {{2^x}-3} \right)}}{x} \ge 0.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

\(\left( {2x-3} \right)\left( {{2^x}-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-3 = 0,}\\{{2^x}-3 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-3 = 0,\;\;\,\;\,}\\{{2^x}-{2^{{{\log }_2}3}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{2},\;\;\;\;\;\,}\\{x = {{\log }_2}3.}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \(x \ne 0.\)   

Сравним числа  \({\log _2}3\)  и  \(\frac{3}{2}\):

\(\frac{3}{2} = \frac{3}{2}{\log _2}2 = {\log _2}\sqrt 8  < {\log _2}\sqrt 9  = {\log _2}3.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\,0;\,\frac{3}{2}\,} \right] \cup \left[ {\,{{\log }_2}3;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\,0;\,\frac{3}{2}\,} \right] \cup \left[ {\,{{\log }_2}3;\,\infty } \right).\)