81В. Решите неравенство \({\left( {\frac{5}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le \frac{2}{3} \cdot {2,5^{x\,\,-\,\,\frac{3}{{x + 1}}}}\).
\({\left( {\frac{5}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le \frac{2}{3} \cdot {2,5^{x\,\,-\,\,\frac{3}{{x + 1}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{5}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le \frac{2}{3} \cdot {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}}\left| {:{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}}} \right. > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le \frac{2}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^1}.\) Так как \(\frac{2}{3} < 1,\) то: \(\;{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}}}} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2} + x\,-\,3}}{{x + 1}} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}-4}}{{x + 1}} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2;\,-1} \right) \cup \left[ {\,2;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-2;\,-1} \right) \cup \left[ {\,2;\,\infty } \right).\)