82В. Решите неравенство \(27 \cdot {45^x}-{27^{x + 1}}-12 \cdot {15^x} + 12 \cdot {9^x} + {5^x}-{3^x} \le 0\).
\(27 \cdot {45^x}-{27^{x + 1}}-12 \cdot {15^x} + 12 \cdot {9^x} + {5^x}-{3^x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;27 \cdot {9^x}\left( {{5^x}-{3^x}} \right)-12 \cdot {3^x}\left( {{5^x}-{3^x}} \right) + {5^x}-{3^x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{5^x}-{3^x}} \right)\left( {27 \cdot {3^{2x}}-12 \cdot {3^x} + 1} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left( {{5^x}-{3^x}} \right)\left( {27 \cdot {3^{2x}}-12 \cdot {3^x} + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x}-{3^x} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{27 \cdot {3^{2x}}-12 \cdot {3^x} + 1 = 0.}\end{array}} \right.\) Решим первое уравнение: \({5^x}-{3^x} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^x} = {3^x}\left| {:{3^x} \ne 0} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = {\left( {\frac{5}{3}} \right)^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0.\) Решим второе уравнение: \(27 \cdot {3^{2x}}-12 \cdot {3^x} + 1 = 0.\) Пусть \({3^x} = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(27{t^2}-12t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{3},}\\{{t} = \frac{1}{9}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = \frac{1}{3},}\\{{3^x} = \frac{1}{9}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} = {3^{-1}},}\\{{3^x} = {3^{-2}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\,0} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\,0} \right].\)