\({16^{\dfrac{1}{x}\,\,-\,\,1}}-{4^{\dfrac{1}{x}\,-\,1}}-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{2\left( {\dfrac{1}{x}\,\,-\,\,1} \right)}}-{4^{\dfrac{1}{x}\,-\,1}}-2 \ge 0.\)
Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\)
Пусть \({4^{\dfrac{1}{x}\,-\,1}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-t-2 \ge 0.\)
\({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;}\\{t = -1.}\end{array}} \right.\)
\({t^2}-t-2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t + 1} \right) \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,}\\{t \ge 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\dfrac{1}{x}\,-\,1}} \le -1,}\\{{4^{\dfrac{1}{x}\,-\,1}} \ge 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\,\;\;\,\;\,}\\{{2^{\,2\left( {\dfrac{{1\,-x}}{x}} \right)}} \ge {2^1}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2-2x}}{x} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2-3x}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3x-2}}{x} \le 0.\)
Решим последнее неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\,\dfrac{2}{3}} \right].\)
Ответ: \(\left( {0;\,\dfrac{2}{3}} \right].\)