83В. Решите неравенство \({16^{\frac{1}{x}\,\,-\,\,1}}-{4^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-2 \ge 0\).
\({16^{\frac{1}{x}\,\,-\,\,1}}-{4^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{2\left( {\frac{1}{x}\,\,-\,\,1} \right)}}-{4^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-2 \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\) Пусть \({4^{\frac{1}{x}\,-\,1}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-t-2 \ge 0.\) \({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;}\\{t = -1.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-t-2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t + 1} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,}\\{t \ge 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\frac{1}{x}\,-\,1}} \le -1,}\\{{4^{\frac{1}{x}\,-\,1}} \ge 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\,\;\;\,\;\,}\\{{2^{\,2\left( {\frac{{1\,-x}}{x}} \right)}} \ge {2^1}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2-2x}}{x} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2-3x}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3x-2}}{x} \le 0.\) Решим последнее неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\,\frac{2}{3}} \right].\) Ответ: \(\left( {0;\,\frac{2}{3}} \right].\)
