84В. Решите неравенство \({9^{\frac{1}{x}\,\,-\,\,1}} + 2 \cdot {3^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-3 \ge 0\).
\({9^{\frac{1}{x}\,\,-\,\,1}} + 2 \cdot {3^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2\left( {\frac{1}{x}\,\,-\,\,1} \right)}} + 2 \cdot {3^{\frac{1}{x}\,-\,1}}-3 \ge 0.\) Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\) Пусть \({3^{\frac{1}{x}\,-\,1}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} + 2t-3 \ge 0.\) \({t^2} + 2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -3,}\\{t = 1.\;\,}\end{array}} \right.\) \({t^2} + 2t-3 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t + 3} \right) \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -3,}\\{t \ge 1\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\frac{1}{x}\,-\,1}} \le -3,}\\{{3^{\frac{1}{x}\,-\,1}} \ge {3^0}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\,}\\{\frac{{1\,-x}}{x} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{1\,-x}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x-1}}{x} \le 0.\) Решим последнее неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\,1} \right].\) Ответ: \(\left( {0;\,1} \right].\)
