85В. Решите неравенство \({\left( {{{25}^x}-4 \cdot {5^x}} \right)^2} + 8 \cdot {5^x} < 2 \cdot {25^x} + 15\).
\({\left( {{{25}^x}-4 \cdot {5^x}} \right)^2} + 8 \cdot {5^x} < 2 \cdot {25^x} + 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{25}^x}-4 \cdot {5^x}} \right)^2}-2\left( {{{25}^x}-4 \cdot {5^x}} \right)-15 < 0.\) Пусть \({25^x}-4 \cdot {5^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-2t-15 < 0.\) \({t^2}-2t-15 = 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,\;\;\,}\\{{t} = -3.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-2t-15 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-5} \right)\left( {t + 3} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(-3 < t < 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 < {25^x}-4 \cdot {5^x} < 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{25}^x}-4 \cdot {5^x} > -3,}\\{{{25}^x}-4 \cdot {5^x} < 5\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{25}^x}-4 \cdot {5^x} + 3 > 0,}\\{{{25}^x}-4 \cdot {5^x}-5 < 0.}\end{array}} \right.\) Пусть \({5^x} = y.\) Тогда система неравенств примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2}-4y + 3 > 0,}\\{{y^2}-4y-5 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y-3} \right)\left( {y-1} \right) > 0,}\\{\left( {y-5} \right)\left( {y + 1} \right) < 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right),}\\{y \in \left( {-1;5} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение: Следовательно, \(y \in \left( {-1;1} \right) \cup \left( {3;5} \right).\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 < {5^x} < 1,}\\{3 < {5^x} < 5\;\;}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} < {5^0},\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{5^{{{\log }_5}3}} < {5^x} < {5^1}}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_5}3 < x < 1.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_5}3;\,1} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_5}3;\,1} \right).\)
