86В. Решите неравенство \({\left( {{9^x}-{3^{x + 1}}} \right)^2} + 8 \cdot {3^{x + 1}} < 8 \cdot {9^x} + 20\).
\({\left( {{9^x}-{3^{x + 1}}} \right)^2} + 8 \cdot {3^{x + 1}} < 8 \cdot {9^x} + 20\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{9^x}-{3^{x + 1}}} \right)^2}-8 \cdot \left( {{9^x}-{3^{x + 1}}} \right)-20 < 0.\) Пусть \({9^x}-{3^{x + 1}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-8t-20 < 0.\) \({t^2}-8t-20 = 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 10,\,}\\{{t} = -2.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-8t-20 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-10} \right)\left( {t + 2} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(-2 < t < 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < {9^x}-{3^{x + 1}} < 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{9^x}-{3^{x + 1}} > -2,}\\{{9^x}-{3^{x + 1}} < 10\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{9^x}-3 \cdot {3^x} + 2 > 0,\;}\\{{9^x}-3 \cdot {3^x}-10 < 0.}\end{array}} \right.\) Пусть \({3^x} = y.\) Тогда система неравенств примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2}-3y + 2 > 0,\;}\\{{y^2}-3y-10 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y-2} \right)\left( {y-1} \right) > 0,}\\{\left( {y-5} \right)\left( {y + 2} \right) < 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),}\\{y \in \left( {-2;5} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение: Следовательно, \(y \in \left( {-2;1} \right) \cup \left( {2;5} \right).\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 < {3^x} < 1,}\\{2 < {3^x} < 5\;\;}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^x} < {3^0},\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{3^{{{\log }_3}2}} < {3^x} < {3^{{{\log }_3}5}}}\end{array}} \right.\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_3}2 < x < {{\log }_3}5.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_3}2;\,{{\log }_3}5} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,0} \right) \cup \left( {{{\log }_3}2;\,{{\log }_3}5} \right).\)
