\({3^{{x^2}}} \cdot {5^{x-1}} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2}}} \cdot {3^{{{\log }_3}5 \cdot \left( {x-1} \right)}} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2} + {{\log }_3}5 \cdot \left( {x-1} \right)}} \ge {3^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-1 + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge \;0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge \;0\,\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + {{\log }_3}3 + {{\log }_3}5} \right) \ge \;0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + {{\log }_3}15} \right) \ge \;0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}15} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}15} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)