9В. Решите неравенство  \({3^{{x^2}}} \cdot {5^{x-1}} \ge 3\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}15} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)

Решение

\({3^{{x^2}}} \cdot {5^{x-1}} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2}}} \cdot {3^{{{\log }_3}5 \cdot \left( {x-1} \right)}} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{{x^2} + {{\log }_3}5 \cdot \left( {x-1} \right)}} \ge {3^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-1 + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge \;0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\log _3}5 \cdot \left( {x-1} \right) \ge \;0\,\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + {{\log }_3}3 + {{\log }_3}5} \right) \ge \;0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x + {{\log }_3}15} \right) \ge \;0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}15} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-{{\log }_3}15} \right] \cup \left[ {1;\;\infty } \right).\)