10В. Решите неравенство  \({\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\frac{x}{3}} \right) \ge 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\)

Решение

\({\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\frac{x}{3}} \right) \ge 1.\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15-\frac{4}{x} > 0,}\\{5-\frac{x}{3} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15x-4}}{x} > 0,}\\{\frac{{15-x}}{3} > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{15x-4}}{x} > 0,\,}\\{x-15 < 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{4}{{15}};\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;15} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Найдём общее решение полученной системы:

Следовательно, ОДЗ:  \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{4}{{15}};15} \right).\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\({\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {5-\frac{x}{3}} \right) \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right)-{\log _3}\left( {5-\frac{x}{3}} \right) \ge {\log _3}3\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right) \ge {\log _3}3 + {\log _3}\left( {5-\frac{x}{3}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {15-\frac{4}{x}} \right) \ge {\log _3}\left( {3\left( {5-\frac{x}{3}} \right)} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\,\,\,\,\,15-\frac{4}{x} \ge 15-x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15x-4}}{x}-15 + x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15x-4-15x + {x^2}}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}-4}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Значит,  \(x \in \left[ {-2;0} \right) \cup \left[ {2;\infty } \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-2;\;0} \right) \cup \left[ {2;\;15} \right).\)