\({x^2}{\log _{512}}\left( {9-x} \right) \le {\log _2}\left( {{x^2}-18x + 81} \right).\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9-x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-18x + 81 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 9,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {x-9} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 9.\)
\({x^2}{\log _{512}}\left( {9-x} \right) \le {\log _2}\left( {{x^2}-18x + 81} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\log _{{2^9}}}\left( {9-x} \right) \le {\log _2}{\left( {9-x} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}}}{9}{\log _2}\left( {9-x} \right)-2{\log _2}\left| {9-x} \right| \le 0.\)
Так как \(x < 9,\) то \(\left| {9-x} \right| = 9-x.\) Тогда полученное неравенство примет вид:
\(\dfrac{{{x^2}}}{9}{\log _2}\left( {9-x} \right)-2{\log _2}\left( {9-x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {\dfrac{{{x^2}}}{9}-2} \right){\log _2}\left( {9-x} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x < 9:\)
\(\left( {\dfrac{{{x^2}}}{9}-2} \right){\log _2}\left( {9-x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 18,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{{{\log }_2}\left( {9-x} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm 3\sqrt 2 ,}\\{x = 8.\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-3\sqrt 2 ;\,3\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {8;\,9} \right).\)
Ответ: \(\left[ {-3\sqrt 2 ;\,3\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {8;\,9} \right).\)