103В. Решите неравенство \({x^2}{\log _{625}}\left( {3-x} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2}-6x + 9} \right)\).
\({x^2}{\log _{625}}\left( {3-x} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2}-6x + 9} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3-x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-6x + 9 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 < 0,\;\;\;}\\{{{\left( {x-3} \right)}^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x < 3.\) \({x^2}{\log _{625}}\left( {3-x} \right) \le {\log _5}\left( {{x^2}-6x + 9} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}{\log _{{5^4}}}\left( {3-x} \right) \le {\log _5}{\left( {3-x} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{4}{x^2}{\log _5}\left( {3-x} \right)-2{\log _5}\left| {3-x} \right| \le 0.\) Так как \(x < 3,\) то \(\left| {3-x} \right| = 3-x.\) Тогда полученное неравенство примет вид: \(\frac{1}{4}{x^2}{\log _5}\left( {3-x} \right)-2{\log _5}\left( {3-x} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\frac{1}{4}{x^2}-2} \right){\log _5}\left( {3-x} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x < 3:\) \(\left( {\frac{1}{4}{x^2}-2} \right){\log _5}\left( {3-x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 8,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,}\\{{{\log }_5}\left( {3-x} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm 2\sqrt 2 ,}\\{x = 2.\;\;\,\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2\sqrt 2 ;\,\,2} \right] \cup \left[ {2\sqrt 2 ;\,3} \right).\) Ответ: \(\left[ {-2\sqrt 2 ;\,\,2} \right] \cup \left[ {2\sqrt 2 ;\,3} \right).\)