106В. Решите неравенство  \(\frac{8}{{{{\log }_2}16x}} \ge \frac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}2x}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\,\frac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{8};\,\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{8}{{{{\log }_2}16x}} \ge \frac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}2x}}.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16x > 0,}\\{8x > 0,\;\;}\\{2x > 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(\frac{8}{{{{\log }_2}16x}} \ge \frac{3}{{{{\log }_2}8x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{8}{{4 + {{\log }_2}x}} \ge \frac{3}{{3 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{1 + {{\log }_2}x}}.\)

Пусть  \({\log _2}x = t.\)  Тогда полученное неравенство примет вид:

\(\frac{8}{{4 + t}} \ge \frac{3}{{3 + t}} + \frac{1}{{1 + t}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)-3\left( {4 + t} \right)\left( {1 + t} \right)-\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{24 + 24t + 8t + 8{t^2}-12-12t-3t-3{t^2}-12-4t-3t-{t^2}}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{t^2} + 10t}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {4t + 10} \right)}}{{\left( {4 + t} \right)\left( {3 + t} \right)\left( {1 + t} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < t < -3,\,}\\{-\frac{5}{2} \le t < -1,}\\{t \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < {{\log }_2}x < -3,\;\,}\\{-\frac{5}{2} \le {{\log }_2}x < -1,\,}\\{{{\log }_2}x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\frac{1}{{16}} < {{\log }_2}x < {{\log }_2}\frac{1}{8},\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\frac{{\sqrt 2 }}{8} \le {{\log }_2}x < {{\log }_2}\frac{1}{2},}\\{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{16}} < x < \frac{1}{8},\,\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 2 }}{8} \le x < \frac{1}{2},}\\{x \ge 1\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{1}{{16}};\,\frac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{8};\,\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{{16}};\,\frac{1}{8}} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{8};\,\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)