107В. Решите неравенство  \(\left( {\log _{0,25}^2\left( {x + 3} \right)-{{\log }_4}\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 1} \right) \cdot {\log_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-2;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\)

Решение

\(\left( {\log _{0,25}^2\left( {x + 3} \right)-{{\log }_4}\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 1} \right) \cdot {\log_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\).

Найдём ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 6x + 9 > 0,}\\{x + 2 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3 > 0,\;\;\;\;}\\{{{\left( {x + 3} \right)}^2} > 0,}\\{x + 2 > 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,}\\{x > -2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -2.\)

\(\left( {\log _{0,25}^2\left( {x + 3} \right)-{{\log }_4}\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\log _4^2\left( {x + 3} \right)-2{{\log }_4}\left| {x + 3} \right| + 1} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0.\)

Так как  \(x + 3 > 0,\)  то  \(\left| {x + 3} \right| = x + 3.\)

Тогда неравенство примет вид:  \(\left( {\log _4^2\left( {x + 3} \right)-2{{\log }_4}\left( {x + 3} \right) + 1} \right) \cdot {{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{{\log }_4}\left( {x + 3} \right)-1} \right)^2} \cdot {{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\log }_4}\left( {x + 3} \right)-1} \right)}^2} = 0,}\\{{{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим уравнение совокупности:

\({\left( {{{\log }_4}\left( {x + 3} \right)-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _4}\left( {x + 3} \right)-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 3 = 4\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\)

Решим неравенство совокупности:

\({{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le {{\log }_4}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 < x + 2 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < x \le -1.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{{\log }_4}\left( {x + 3} \right)-1} \right)}^2} = 0,}\\{{{\log }_4}\left( {x + 2} \right) \le 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{-2 < x \le -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\)

Ответ:  \(\left( {-2;-1} \right] \cup \left\{ 1 \right\}.\)