\({\log _{25}}\left( {\left( {x-4} \right)\left( {{x^2}-2x-8} \right)} \right) + 1 \ge 0,5\,\,{\log _5}{\left( {x-4} \right)^2}.\)
Найдём ОДЗ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-4} \right)\left( {{x^2}-2x-8} \right) > 0,}\\{{{\left( {x-4} \right)}^2} > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x + 2} \right) > 0,}\\{x \ne 4.\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-2;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\)
Вернёмся к исходному неравенству:
\({\log _{25}}\left( {\left( {x-4} \right)\left( {{x^2}-2x-8} \right)} \right) + 1 \ge 0,5\,\,{\log _5}{\left( {x-4} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _{25}}\left( {{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} \right)-\,\,{\log _{25}}{\left( {x-4} \right)^2} \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _{25}}\dfrac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x-4} \right)}^2}}} \ge — 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;{\log _{25}}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _{25}}\dfrac{1}{{25}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -1,96.\)
Найдём общее решение с ОДЗ:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-1,96;\,4} \right) \cup \left( {4;\,\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {-1,96;\,4} \right) \cup \left( {4;\,\infty } \right).\)