113В. Решите неравенство \({\log _{0,2}}\left( {{x^3}-2{x^2}-4x + 8} \right) \le {\log _{0,04}}{\left( {x-2} \right)^4}.\)
\({\log _{0,2}}\left( {{x^3}-2{x^2}-4x + 8} \right) \le {\log _{0,04}}{\left( {x-2} \right)^4}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-2{x^2}-4x + 8 > 0,}\\{{{\left( {x-2} \right)}^4} > 0.\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \({x^3}-2{x^2}-4x + 8 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {x-2} \right)-4\left( {x-2} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-4} \right)\left( {x-2} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-2} \right)^2}\left( {x + 2} \right) > 0.\) Решим неравенство системы методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-2;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-2{x^2}-4x + 8 > 0,}\\{{{\left( {x-2} \right)}^4} > 0\,\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {-2;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),}\\{x \ne 2\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-2;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _{0,2}}\left( {{x^3}-2{x^2}-4x + 8} \right) \le {\log _{0,04}}{\left( {x-2} \right)^4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,2}}\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)} \right)-{\log _{0,2}}{\left( {x-2} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,2}}\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{0,2}}\left( {x + 2} \right) \le {\log _{0,2}}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -1.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-1;\,2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-1;\,2} \right) \cup \left( {2;\,\infty } \right).\)
