118В. Решите неравенство \(\log _3^2\left( {x-4} \right)-\log _3^2\left( {x-6} \right) \le 0.\)
\(\log _3^2\left( {x-4} \right)-\log _3^2\left( {x-6} \right) \le 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 > 0,}\\{x-6 > 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 6.\) \(\log _3^2\left( {x-4} \right)-\log _3^2\left( {x-6} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_3}\left( {x-4} \right) + {{\log }_3}\left( {x-6} \right)} \right)\left( {{{\log }_3}\left( {x-4} \right)-{{\log }_3}\left( {x-6} \right)} \right) \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что \(x \in \left( {6;\,\infty } \right)\): \(\left( {{{\log }_3}\left( {x-4} \right) + {{\log }_3}\left( {x-6} \right)} \right)\left( {{{\log }_3}\left( {x-4} \right)-{{\log }_3}\left( {x-6} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {x-4} \right) = -{{\log }_3}\left( {x-6} \right),}\\{{{\log }_3}\left( {x-4} \right) = {{\log }_3}\left( {x-6} \right)\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 = \frac{1}{{x-6}},}\\{x-4 = x-6\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-10x + 23 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + \sqrt 2 ,}\\{x = 5-\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {6;\,5 + \sqrt 2 } \right].\) Ответ: \(\left( {6;\,5 + \sqrt 2 } \right].\)