13В. Решите неравенство \({\log _2}\left( {{{\log }_2}\left( {7{x^2}-6x} \right)} \right) \le 2\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-\dfrac{8}{7};\;-\dfrac{1}{7}} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)
\({\log _2}\left( {{{\log }_2}\left( {7{x^2}-6x} \right)} \right) \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {{{\log }_2}\left( {7{x^2}-6x} \right)} \right) \le {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;0 < {\log _2}\left( {7{x^2}-6x} \right) \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}1 < {\log _2}\left( {7{x^2}-6x} \right) \le {\log _2}16\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < 7{x^2}-6x \le 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{x^2}-6x > 1,\;\,}\\{7{x^2}-6x \le 16}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{x^2}-6x-1 > 0,\,\;\,}\\{7{x^2}-6x-16 \le 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \(7{x^2}-6x-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -\dfrac{1}{7},}\\{{x} = 1.\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(7{x^2}-6x-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7x + 1} \right)\left( {x-1} \right) > 0.\) Рассмотрим второе неравенство системы: \(7{x^2}-6x-16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -\dfrac{8}{7},}\\{{x} = 2.\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(7{x^2}-6x-16 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {7x + 8} \right)\left( {x-2} \right) \le 0.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7{x^2}-6x-1 > 0,\,\,}\\{7{x^2}-6x-16 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {7x + 1} \right)\left( {x-1} \right) > 0,\,\,}\\{\left( {7x + 8} \right)\left( {x-2} \right) \le 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-\dfrac{1}{7}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-\dfrac{8}{7};2} \right].\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-\dfrac{8}{7};\;-\dfrac{1}{7}} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) Ответ: \(\left[ {-\dfrac{8}{7};\;-\dfrac{1}{7}} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) 