19В. Решите неравенство \({\log _2}\left( {{x^2}-4} \right)-3{\log _2}\frac{{x + 2}}{{x-2}} > 2\).
\({\log _2}\left( {{x^2}-4} \right)-3{\log _2}\frac{{x + 2}}{{x-2}} > 2.\) Найдем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4 > 0,}\\{\frac{{x + 2}}{{x-2}} > 0\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0,}\\{\frac{{x + 2}}{{x-2}} > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \,\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _2}\left( {{x^2}-4} \right)-3{\log _2}\frac{{x + 2}}{{x-2}} > 2\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)-{\log _2}\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}{{{{\left( {x-2} \right)}^3}}}-2 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right){{\left( {x-2} \right)}^3}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} > 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^4}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^4}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^4}-4{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2}} \right)}^2}-{{\left( {2\left( {x + 2} \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2}-2\left( {x + 2} \right)} \right)\left( {{{\left( {x-2} \right)}^2} + 2\left( {x + 2} \right)} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{x^2}-6x} \right)\left( {{x^2}-2x + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x\left( {x-6} \right)\left( {{x^2}-2x + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {-2;0} \right) \cup \left( {6;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)
