21В. Решите неравенство \(9{\log _7}\left( {{x^2} + x-2} \right) \le 10 + {\log _7}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}}\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-9;\;-2} \right) \cup \left( {1;\;5} \right].\)
\(9{\log _7}\left( {{x^2} + x-2} \right) \le 10 + {\log _7}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-2 > 0,}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}} > 0.\;\,\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \({x^2} + x-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -2,}\\{{x} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) \({x^2} + x-2 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right) > 0.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x-2 > 0,\;}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}} > 0\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right) > 0,}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}} > 0\,\;\;\;\,\,\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \(9{\log _7}\left( {{x^2} + x-2} \right) \le 10 + {\log _7}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}{\left( {x-1} \right)^9}{\left( {x + 2} \right)^9}-{\log _7}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}}{{x + 2}} \le 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^9}{{\left( {x + 2} \right)}^9}\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x-1} \right)}^9}}} \le 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}{\left( {x + 2} \right)^{10}} \le 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;10{\log _7}\left| {x + 2} \right| \le 10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\left| {x + 2} \right| \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\left| {x + 2} \right| \le {\log _7}7\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x + 2} \right| \le 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-7 \le x + 2 \le 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-9 \le x \le 5.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-9;\;-2} \right) \cup \left( {1;\;5} \right].\) Ответ: \(\left[ {-9;\;-2} \right) \cup \left( {1;\;5} \right].\) 