22В. Решите неравенство \(3{\log _{11}}\left( {{x^2} + 8x-9} \right) \le 4 + {\log _{11}}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}}\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-20;\;-9} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\)
\(3{\log _{11}}\left( {{x^2} + 8x-9} \right) \le 4 + {\log _{11}}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}}.\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 8x-9 > 0,}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}} > 0.\;\,\;\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \({x^2} + 8x-9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -9,}\\{{x} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) \({x^2} + 8x-9 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 9} \right)\left( {x-1} \right) > 0.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 8x-9 > 0,}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}} > 0\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 9} \right)\left( {x-1} \right) > 0,}\\{\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}} > 0\;\;\;\,\,\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-9} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \(3{\log _{11}}\left( {{x^2} + 8x-9} \right) \le 4 + {\log _{11}}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}{\left( {x-1} \right)^3}{\left( {x + 9} \right)^3}-{\log _{11}}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}}{{x + 9}} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}\dfrac{{{{\left( {x-1} \right)}^3}{{\left( {x + 9} \right)}^3}\left( {x + 9} \right)}}{{{{\left( {x-1} \right)}^3}}} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}{\left( {x + 9} \right)^4} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\log _{11}}\left| {x + 9} \right| \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}\left| {x + 9} \right| \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}\left| {x + 9} \right| \le {\log _{11}}11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x + 9} \right| \le 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;-11 \le x + 9 \le 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-20 \le x \le 2.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-20;\;-9} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) Ответ: \(\left[ {-20;\;-9} \right) \cup \left( {1;\;2} \right].\) 