23В. Решите неравенство  \({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\frac{1}{x}} \right)\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{2};\;\frac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)

Решение

\({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\frac{1}{x}} \right).\)

Найдём ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 12 > 0,\;\;\,\,}\\{{x^2}-x + 12 > 0,}\end{array}}\\{2-\frac{1}{x} > 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,R,\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x\, \in \,R,\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\frac{{2x-1}}{x} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2x-1}}{x} > 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, ОДЗ:  \(x\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\infty } \right).\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\({\log _7}\left( {2{x^2} + 12} \right)-{\log _7}\left( {{x^2}-x + 12} \right) \ge {\log _7}\left( {2-\frac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\frac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _7}\left( {2-\frac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _7}\frac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge {\log _7}\left( {\frac{{2x-1}}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}} \ge \frac{{2x-1}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{x^2} + 12}}{{{x^2}-x + 12}}-\frac{{2x-1}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{x^3} + 12x-2{x^3} + {x^2} + 2{x^2}-x-24x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3{x^2}-13x + 12}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{\left( {x-3} \right)\left( {3x-4} \right)}}{{\left( {{x^2}-x + 12} \right)x}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Следовательно,  \(x\, \in \,\left( {0;\frac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)

Найдём общее решение с ОДЗ:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\frac{1}{2};\;\frac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{2};\;\frac{4}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;\infty } \right).\)