25В. Решите неравенство \({\log _{11}}\left( {8{x^2} + 7} \right)-{\log _{11}}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _{11}}\left( {\frac{x}{{x + 5}} + 7} \right)\).
\({\log _{11}}\left( {8{x^2} + 7} \right)-{\log _{11}}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _{11}}\left( {\frac{x}{{x + 5}} + 7} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{8{x^2} + 7 > 0,\;\;\;\;\,\,}\\{{x^2} + x + 1 > 0,\;\,\;\,}\end{array}}\\{\frac{x}{{x + 5}} + 7 > 0\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,R,\;\;\;\,\;\;\,\,\,\,}\\{x\, \in \,R,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{\frac{{8x + 35}}{{x + 5}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8x + 35}}{{x + 5}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-5} \right) \cup \left( {-\frac{{35}}{8};\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _{11}}\left( {8{x^2} + 7} \right)-{\log _{11}}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge {\log _{11}}\left( {\frac{x}{{x + 5}} + 7} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}\frac{{8{x^2} + 7}}{{{x^2} + x + 1}} \ge {\log _{11}}\left( {\frac{x}{{x + 5}} + 7} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{11}}\frac{{8{x^2} + 7}}{{{x^2} + x + 1}} \ge {\log _{11}}\frac{{8x + 35}}{{x + 5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8{x^2} + 7}}{{{x^2} + x + 1}} \ge \frac{{8x + 35}}{{x + 5}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8{x^2} + 7}}{{{x^2} + x + 1}}-\frac{{8x + 35}}{{x + 5}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8{x^3} + 40{x^2} + 7x + 35-8{x^3}-35{x^2}-8{x^2}-35x-8x-35}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-3{x^2}-36x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} \ge 0\left| {:\left( {-3} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{x\left( {x + 12} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-12} \right] \cup \left( {-5;0} \right]\). Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-12} \right] \cup \left( {-\frac{{35}}{8};\;0} \right].\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-12} \right] \cup \left( {-\frac{{35}}{8};\;0} \right].\)
