27В. Решите неравенство \({\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _2}\left( {27x-1} \right)\).
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{3};1} \right).\)
\({\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _2}\left( {27x-1} \right).\) Найдём ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x}-1 > 0,\;\;}\\{\dfrac{1}{x} + 1 > 0,\;\;}\end{array}}\\{27x-1 > 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \(\dfrac{1}{x}-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-x}}{x} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x-1}}{x} < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {0;1} \right).\) Рассмотрим второе неравенство системы: \(\dfrac{1}{x} + 1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1 + x}}{x} > 0.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Рассмотрим третье неравенство системы: \(27x-1 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > \dfrac{1}{{27}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{1}{{27}};\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x}-1 > 0,\;\;}\\{\dfrac{1}{x} + 1 > 0,\;\;}\end{array}}\\{27x-1 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {\dfrac{1}{{27}};\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{{27}};1} \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \({\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _2}\left( {27x-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}-1} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + 1} \right) \le {\log _2}\left( {27x-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{x^2}}}-1 \le 27x-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{{x^2}}}-27x \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{1-27{x^3}}}{{{x^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{27{x^3}-1}}{{{x^2}}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Следовательно, \(x\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{3};\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{3};1} \right).\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{3};1} \right).\) 
