29В. Решите неравенство \({\log _3}\frac{1}{x} + {\log _3}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10} \right)\).
\({\log _3}\frac{1}{x} + {\log _3}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10} \right).\) Полученное неравенство равносильно системе неравенств: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{{x^2} + 3x-9 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{1}{x}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10.}\end{array}} \right.\) Так как \(\frac{1}{x} > 0\) и \({x^2} + 3x-9 > 0\), то \(\frac{1}{x}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) > 0\) и тогда при решении четвёртого неравенства последней системы условие \({x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10 > 0\) выполнится автоматически. Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{{x^2} + 3x-9 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{1}{x}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{x^2} + 3x-9 > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\\{\frac{1}{x}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \(\frac{1}{x} > 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\infty } \right).\) Рассмотрим второе неравенство системы: \({x^2} + 3x-9 > 0.\) \({x^2} + 3x-9 = 0;\;\;\;\;\;\;D = 9 + 36 = 45;\;\;\;\;\sqrt D = 3\sqrt 5; \;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = \frac{{-3 + 3\sqrt 5 }}{2},\;\,}\\{{x} = \frac{{-3-3\sqrt 5 }}{2}.\;\;}\end{array}} \right.\) \({x^2} + 3x-9 > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\frac{{-3-3\sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{-3 + 3\sqrt 5 }}{2};\infty } \right).\) Общее решение первых двух неравенств системы: \(x \in \left( {\frac{{-3 + 3\sqrt 5 }}{2};\infty } \right).\) Рассмотрим третье неравенство системы: \(\frac{1}{x}\left( {{x^2} + 3x-9} \right) \le {x^2} + 3x + \frac{1}{x}-10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-{x^3}-2{x^2} + 13x-10}}{x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^3} + 2{x^2}-13x + 10}}{x} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \({x^3} + 2{x^2}-13x + 10 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного уравнения третьей степени являются делители свободного члена, равного \(10,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 5;\,\,\, \pm 10.\) Подходит \(x = 1.\) Разделим многочлен \({x^3} + 2{x^2}-13x + 10\) на многочлен \(x-1:\) Следовательно, многочлен \({x^3} + 2{x^2}-13x + 10\) раскладывается на множители \(\left( {{x^2} + 3x-10} \right)\left( {x-1} \right).\) Тогда: \(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + 3x-10} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x-10 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;}\\{x = 2,\;\,\,}\\{x = -5.\,}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(x \ne 0.\) Следовательно, \(x\, \in \,\left( {-\infty ;-5} \right] \cup \left( {0;1} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Так как решение первых двух неравенств системы \(x \in \left( {\frac{{-3 + 3\sqrt 5 }}{2};\infty } \right)\) и учитывая, что \(1 < \frac{{-3 + 3\sqrt 5 }}{2} < 2,\) то решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {2;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {2;\infty } \right).\)
