3В. Решите неравенство \(\log _{2\left| x \right|}^{\;\,2}\left( {4{x^2}} \right) + {\log _2}\left( {8{x^2}} \right) \le 9\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-2;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};2} \right].\)
\(\log _{2\left| x \right|}^2\left( {4{x^2}} \right) + {\log _2}\left( {8{x^2}} \right) \le 9.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left| x \right| \ne 1,}\\{4{x^2} > 0,}\\{8{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pm \frac{1}{2},}\\{x \ne 0.\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Заметим, что \(4{x^2} = {\left( {2\left| x \right|} \right)^2},\) поэтому \(\log _{2\left| x \right|}^2\left( {4{x^2}} \right) = {\left( {{{\log }_{2\left| x \right|}}{{\left( {2\left| x \right|} \right)}^2}} \right)^2} = {2^2} = 4.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(4 + {\log _2}\left( {8{x^2}} \right) \le 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {8{x^2}} \right) \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {8{x^2}} \right) \le {\log _2}32\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;8{x^2} \le 32\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{x^2}-4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le x \le 2.\) Так как ОДЗ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pm \frac{1}{2},}\\{x \ne 0\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) то решение исходного неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {-2;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};2} \right].\) Ответ: \(\left[ {-2;-\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {-\frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};2} \right].\)