39В. Решите неравенство  \(\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) + {{\log }_{0,2}}\left( {20-5x} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{4-x}}5}} + x + 1} \right) \ge {x^2}-x-6\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-8;\;-4} \right) \cup \left( {1;\;3} \right).\)

Решение

\(\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) + {{\log }_{0,2}}\left( {20-5x} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{4-x}}5}} + x + 1} \right) \ge {x^2}-x-6.\)

Запишем ОДЗ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20-5x > 0,\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x-4 > 0,}\\{4-x > 0,\;\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4-x \ne 1\;\,\,\;\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x < 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne 3\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\(\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) + {{\log }_{0,2}}\left( {20-5x} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{4-x}}5}} + x + 1} \right) \ge {x^2}-x-6\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right)-{{\log }_5}\left( {20-5x} \right) + {{\log }_5}\left( {4-x} \right) + x + {{\log }_5}5} \right) \ge {x^2}-x-6\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right)-{{\log }_5}\left( {20-5x} \right) + {{\log }_5}\left( {20-5x} \right) + x} \right) \ge {x^2}-x-6\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) + x} \right)-\left( {x-3} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) + x-x-2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right)-2} \right) \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) = 2.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим второе уравнение:

\({\log _6}\left( {{x^2} + 3x-4} \right) = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x-4 = 36\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 3x-40 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,\,\;\;}\\{{x} = -8.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-8;\;-4} \right) \cup \left( {1;\;3} \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-8;\;-4} \right) \cup \left( {1;\;3} \right).\)