4В. Решите неравенство  \(\log _{5\left| x \right|}^{\;\,2}\left( {25{x^2}} \right) + {\log _5}\left( {25{x^2}} \right) \le 8\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-5;\;-0,2} \right) \cup \left( {-0,2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;0,2} \right) \cup \left( {0,2;\;5} \right].\)

Решение

\(\log _{5\left| x \right|}^{\;\,2}\left( {25{x^2}} \right) + {\log _5}\left( {25{x^2}} \right) \le 8.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\left| x \right| \ne 1,\;\,}\\{25{x^2} > 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  \pm \frac{1}{5},}\\{x \ne 0\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  \pm 0,2;\,}\\{x \ne 0.\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)

Заметим, что \(25{x^2} = {\left( {5\left| x \right|} \right)^2},\)  поэтому  \(\log _{5\left| x \right|}^2\left( {25{x^2}} \right) = {\left( {{{\log }_{5\left| x \right|}}{{\left( {5\left| x \right|} \right)}^2}} \right)^2} = {2^2} = 4.\)

Тогда исходное неравенство примет вид:

\(4 + {\log _5}\left( {25{x^2}} \right) \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {25{x^2}} \right) \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {25{x^2}} \right) \le {\log _5}625\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;25{x^2} \le 625\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{x^2}-25 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-5} \right)\left( {x + 5} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-5 \le x \le 5.\)

Так как ОДЗ  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne  \pm 0,2;\,}\\{x \ne 0\;\;\;\,\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)  то решение исходного неравенства будет иметь вид:

\(x \in \left[ {-5;\;-0,2} \right) \cup \left( {-0,2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;0,2} \right) \cup \left( {0,2;\;5} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {-5;\;-0,2} \right) \cup \left( {-0,2;\;0} \right) \cup \left( {0;\;0,2} \right) \cup \left( {0,2;\;5} \right].\)