43В. Решите неравенство \(\left| {\left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4} \right| < 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\)

Решение

\(\left| {\left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4} \right| < 2.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

\(\left| {\left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < \left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4 < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 < \left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2,}\\{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6.}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство:

\(\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x-1 > 2,\;}\\{{{\log }_2}x-1 < -2}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > 3,\;}\\{{{\log }_2}x < -1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 8,\;\;\;\;\;\;}\\{0 < x < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\infty } \right).\)

Решим второе неравенство:

\(\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-6 < {\log _2}x-1 < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-5 < {\log _2}x < 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{1}{{32}} < {\log _2}x < {\log _2}128\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{32}} < x < 128\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\frac{1}{{32}};128} \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2,}\\{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\infty } \right),}\\{x\, \in \,\left( {\frac{1}{{32}};128} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Найдём общее решение полученной системы:

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\)