44В. Решите неравенство \(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2} \right| < 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\)

Решение

\(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2} \right| < 1.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

\(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2} \right| < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 < \left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2 < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < \left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1,}\\{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3.}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство:

\(\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x + 1 > 1,\;}\\{{{\log }_2}x + 1 < -1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > 0,\;}\\{{{\log }_2}x < -2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\;\;}\\{0 < x < \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

Решим второе неравенство:

\(\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 < {\log _2}x + 1 < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4 < {\log _2}x < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{1}{{16}} < {\log _2}x < {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{16}} < x < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\frac{1}{{16}};4} \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1,}\\{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x\, \in \,\left( {\frac{1}{{16}};4} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Найдём общее решение полученной системы:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\)