45В. Решите неравенство \(\frac{{{{\log }_3}x-1}}{{{{\log }_3}x-3}} \le 1 + \frac{1}{{{{\log }_3}x-2}}\).
\(\frac{{{{\log }_3}x-1}}{{{{\log }_3}x-3}} \le 1 + \frac{1}{{{{\log }_3}x-2}}.\) Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x > 0.\) Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\frac{{t-1}}{{t-3}} \le 1 + \frac{1}{{t-2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-2t-t + 2-{t^2} + 2t + 3t-6-t + 3}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t-2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-1}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t-2} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\;\;\;\;\,\,}\\{2 < t < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le 1,\;\;\;\;\,\,}\\{2 < {{\log }_3}x < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le {{\log }_3}3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{{{\log }_3}9 < {{\log }_3}x < {{\log }_3}27}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 3,\,}\\{9 < x < 27}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;3} \right] \cup \left( {9;27} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;3} \right] \cup \left( {9;27} \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;3} \right] \cup \left( {9;\;27} \right).\)