57В. Решите неравенство \(\frac{{3\lg \left( {x + 2} \right) + 1}}{{{{\lg }^2}\left( {x + 2} \right) + \lg \left( {x + 2} \right)}} \ge 1 + {\log _{x + 2}}10\).
\(\frac{{3\lg \left( {x + 2} \right) + 1}}{{{{\lg }^2}\left( {x + 2} \right) + \lg \left( {x + 2} \right)}} \ge 1 + {\log _{x + 2}}10.\) Найдём ограничения: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 > 0,}\\{x + 2 \ne 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,}\\{x \ne -1\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {-1;\infty } \right).} \right.\) \(\frac{{3\lg \left( {x + 2} \right) + 1}}{{{{\lg }^2}\left( {x + 2} \right) + \lg \left( {x + 2} \right)}} \ge 1 + {\log _{x + 2}}10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3\lg \left( {x + 2} \right) + 1}}{{{{\lg }^2}\left( {x + 2} \right) + \lg \left( {x + 2} \right)}} \ge 1 + \frac{1}{{\lg \left( {x + 2} \right)}}.\) Пусть \(\lg \left( {x + 2} \right) = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{{3t + 1}}{{{t^2} + t}} \ge 1 + \frac{1}{t}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3t + 1}}{{t\left( {t + 1} \right)}}-1-\frac{1}{t} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3t + 1-{t^2}-t-t-1}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-t}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t\left( {t-1} \right)}}{{t\left( {t + 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{t-1}}{{t + 1}} \le 0,}\\{t \ne 0.\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 < t \le 1,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 < \lg \left( {x + 2} \right) \le 1,}\\{\lg \left( {x + 2} \right) \ne 0\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg 0,1 < \lg \left( {x + 2} \right) \le \lg 10,}\\{\lg \left( {x + 2} \right) \ne \lg 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,1 < x + 2 \le 10,}\\{x + 2 \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1,9 < x \le 8,}\\{x \ne -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1,9;-1} \right) \cup \left( {-1;8} \right].\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-1,9;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;8} \right].\) Ответ: \(\left( {-1,9;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;8} \right].\)