59В. Решите неравенство \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\frac{3}{{4 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\frac{3}{{4 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \le 0.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\,}\\{2x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{{{\log }_2}\left( {2x} \right)}}\left( {\frac{3}{{4 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} \cdot \left( {\frac{{3-4-{{\log }_2}x}}{{4 + {{\log }_2}x}}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}}-\frac{{2\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)}}{{\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)\left( {4 + {{\log }_2}x} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}}-\frac{2}{{4 + {{\log }_2}x}} \le 0,}\\{1 + {{\log }_2}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} \le 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + {{\log }_2}x > 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -1\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\frac{1}{{16}},}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}\frac{1}{2}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{1}{{16}},}\\{x \ne \frac{1}{2}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{1}{{16}};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{{16}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\infty } \right).\)