60В. Решите неравенство \(\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \ge 0.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\,}\\{4x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {4x} \right)}}\left( {\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-1} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}} + \frac{1}{{2 + {{\log }_2}x}} \cdot \left( {\frac{{3-5-{{\log }_2}x}}{{5 + {{\log }_2}x}}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-\frac{{2 + {{\log }_2}x}}{{\left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {5 + {{\log }_2}x} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{3}{{5 + {{\log }_2}x}}-\frac{1}{{5 + {{\log }_2}x}} \ge 0,}\\{2 + {{\log }_2}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{5 + {{\log }_2}x}} \ge 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -2\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 + {{\log }_2}x > 0,}\\{{{\log }_2}x \ne -2\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\frac{1}{{32}},}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}\frac{1}{4}\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > \frac{1}{{32}},}\\{x \ne \frac{1}{4}\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{1}{{32}};\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\frac{1}{{32}};\;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\;\infty } \right).\)