62В. Решите неравенство  \(\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \frac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)

Решение

\(\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \frac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\,\;\,}\\{0,1x > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg \left( {0,1x} \right)}} + \frac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\lg }^2}x + \lg x-4}}{{\lg x-1}} + \frac{{6{{\lg }^2}x-24\lg x + 5}}{{\lg x-4}} \le 7\lg x + 2.\)

Пусть  \(\lg x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \(\frac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}} + \frac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}} \le 7t + 2.\)

Выделим целые части дробей  \(\frac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}}\)и  \(\frac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}}\)  с помощью деления уголком:

\(\frac{{{t^2} + t-4}}{{t-1}} + \frac{{6{t^2}-24t + 5}}{{t-4}} \le 7t + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 2 + \frac{{-2}}{{t-1}} + 6t + \frac{5}{{t-4}} \le 7t + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{5}{{t-4}}-\frac{2}{{t-1}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{5t-5-2t + 8}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3t + 3}}{{\left( {t-4} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -1,\,\;\,}\\{1 < t < 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le -1,\,\;\,}\\{1 < \lg x < 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg \frac{1}{{10}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{\lg 10 < \lg x < \lg 10000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \frac{1}{{10}},\;\;\;\;\;\,}\\{10 < x < 10000}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\;0,1} \right] \cup \left( {10;\;10000} \right).\)