65В. Решите неравенство  \(\frac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x-3}} + \frac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x-9}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x-3}} + \frac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{64x > 0,}\\{x > 0,\;\;\;\,}\\{{x^4} > 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(\frac{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}}{{{{\log }_4}x-3}} + \frac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}\left( {64x} \right)}} \ge \frac{{{{\log }_4}{x^4} + 16}}{{\log _4^2x-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\log }_4}x + 3}}{{{{\log }_4}x-3}} + \frac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}x + 3}} \ge \frac{{4{{\log }_4}\left| x \right| + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\)

Так как  \(x > 0,\)  то  \({\log _4}\left| x \right| = {\log _4}x.\)  Тогда полученное неравенство примет вид:

\(\frac{{{{\log }_4}x + 3}}{{{{\log }_4}x-3}} + \frac{{{{\log }_4}x-3}}{{{{\log }_4}x + 3}} \ge \frac{{4{{\log }_4}x + 16}}{{\log _4^2x-9}}.\)

Пусть  \({\log _4}x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(\frac{{t + 3}}{{t-3}} + \frac{{t-3}}{{t + 3}} \ge \frac{{4t + 16}}{{{t^2}-9}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + 6t + 9 + {t^2}-6t + 9-4t-16}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{t^2}-4t + 2}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{{\left( {t-1} \right)}^2}}}{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -3,}\\{t = 1,\;\;\,}\\{t > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < -3,}\\{{{\log }_4}x = 1,\;\;\,}\\{{{\log }_4}x > 3\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x < {{\log }_4}\frac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_4}x = {{\log }_4}4,\;\,\,\,}\\{{{\log }_4}x > {{\log }_4}64\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \frac{1}{{64}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4,\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x > 64.\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\;\frac{1}{{64}}} \right) \cup \left\{ 4 \right\} \cup \left( {64;\;\infty } \right).\)