66В. Решите неравенство  \(1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-{{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\)

Решение

\(1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-{{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \ge 0.\)

Запишем ограничения на подлогарифмические выражения:   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,\;\;\;\;\;\,}\\{32{x^{10}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > 0.\)

\(1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-{{\log }_2}\left( {32{x^{10}}} \right) + 30}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-5-{{\log }_2}{x^{10}} + 30}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-10{{\log }_2}\left| x \right| + 25}} \ge 0.\)

Так как  \(x > 0,\)  то  \({\log _2}\left| x \right| = {\log _2}x.\)  Тогда полученное неравенство примет вид:

\(1 + \frac{{10}}{{{{\log }_2}x-5}} + \frac{{16}}{{\log _2^2x-10{{\log }_2}x + 25}} \ge 0.\)

Пусть  \({\log _2}x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\(1 + \frac{{10}}{{t-5}} + \frac{{16}}{{{t^2}-10t + 25}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{{10}}{{t-5}} + \frac{{16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {t-5} \right)}^2} + 10\left( {t-5} \right) + 16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-10t + 25 + 10t-50 + 16}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-9}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)}}{{{{\left( {t-5} \right)}^2}}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -3,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge 3,}\\{t \ne 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le -3,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \ge 3,}\\{{{\log }_2}x \ne 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \le {{\log }_2}\frac{1}{8},}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x \ge {{\log }_2}8,}\\{{{\log }_2}x \ne {{\log }_2}32}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \frac{1}{8},}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 8,}\\{x \ne 32.}\end{array}} \right.\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {0;\;\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\;\frac{1}{8}} \right] \cup \left[ {8;\;32} \right) \cup \left( {32;\;\infty } \right).\)