69В. Решите неравенство  \({\lg ^2}\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} < {\lg ^2}\dfrac{{x + 5}}{{20}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-5;\;-\dfrac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{3}{2};\;0} \right).\)

Решение

\({\lg ^2}\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} < {\lg ^2}\frac{{x + 5}}{{20}}.\)

Найдём ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} > 0,}\\{\dfrac{{x + 5}}{{20}} > 0.\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Следовательно,  \(x\, \in \,\left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} > 0,}\\{\dfrac{{x + 5}}{{20}} > 0.\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right),}\\{x\, \in \left( {-5;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).} \right.\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\({\lg ^2}\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} < {\lg ^2}\dfrac{{x + 5}}{{20}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\lg \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5}-\lg \dfrac{{x + 5}}{{20}}} \right)\left( {\lg \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 5} \right)}}{5} + \lg \dfrac{{x + 5}}{{20}}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg 4{\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \lg \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{100}} < 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что  \(x\, \in \,\left( {-5;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right)\):

\(\lg 4{\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \lg \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}{{100}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg 4{{\left( {x + 2} \right)}^2} = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\lg {{\left( {\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{10}}} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + 2} \right)}^2} = {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\left( {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right)}^2} = {{10}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = \dfrac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x + 2 = -\dfrac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 7x + 10 = 10,\;}\\{{x^2} + 7x + 10 = -10}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{3}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -\dfrac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + 7x = 0,\;\;\;\;\;\,\;}\\{{x^2} + 7x + 20 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{3}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -\dfrac{5}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -7,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{3}{2},}\\{x = -\dfrac{5}{2},}\\{x = 0,\;\;\;\,}\\{x = -7.\,\;}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-5;\;-\dfrac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{3}{2};\;0} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-5;\;-\dfrac{5}{2}} \right) \cup \left( {-\dfrac{3}{2};\;0} \right).\)