70В. Решите неравенство  \(\log _5^2\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\frac{{x-3}}{3}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\log _5^2\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\frac{{x-3}}{3}.\)

Найдём ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > 0,}\\{\frac{{x-3}}{3} > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Следовательно,  \(x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > 0,}\\{\frac{{x-3}}{3} > 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right),}\\{x\, \in \left( {3;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right).} \right.\)

Вернёмся к исходному неравенству:

\(\log _5^2\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} > \log _{0,2}^{\;2}\frac{{x-3}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_5}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}}-{{\log }_5}\frac{{x-3}}{3}} \right)\left( {{{\log }_5}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}\left( {x-3} \right)}}{{48}} + {{\log }_5}\frac{{x-3}}{3}} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\frac{1}{{16}}{\left( {x-4} \right)^2} \cdot {\log _5}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} > 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов при условии, что  \(x\, \in \,\left( {3;4} \right) \cup \left( {4;\infty } \right)\):

\({\log _5}\frac{1}{{16}}{\left( {x-4} \right)^2} \cdot {\log _5}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}\frac{1}{{16}}{{\left( {x-4} \right)}^2} = 0,\;\,\;}\\{{{\log }_5}\frac{{{{\left( {x-4} \right)}^2}{{\left( {x-3} \right)}^2}}}{{144}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-4} \right)}^2} = {4^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {\left( {x-4} \right)\left( {x-3} \right)} \right)}^2} = {{12}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-4 = 4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x-4 = -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x + 12 = 12,\;}\\{{x^2}-7x + 12 = -12}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-7x + 24 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 0,}\\{x = 7,}\\{x \in R}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8,}\\{x = 0,}\\{x = 7.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {3;\;4} \right) \cup \left( {4;\;7} \right) \cup \left( {8;\;\infty } \right).\)