71В. Решите неравенство  \({\lg ^4}x-4{\lg ^3}x + 5{\lg ^2}x-2\lg x \ge 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\)

Решение

\({\lg ^4}x-4{\lg ^3}x + 5{\lg ^2}x-2\lg x \ge 0.\)

Запишем ОДЗ:  \(x > 0.\)

Пусть  \(\lg x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \({t^4}-4{t^3} + 5{t^2}-2t \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\({t^4}-4{t^3} + 5{t^2}-2t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^3}-4{t^2} + 5t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\\{{t^3}-4{t^2} + 5t-2 = 0.}\end{array}} \right.\)

Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения  \({t^3}-4{t^2} + 5t-2 = 0\)  являются делители свободного члена, равного  \(-2,\)  то есть:  \( \pm 1;\,\,\, \pm 2.\)

Подходит  \(t = 1.\)  Разделим многочлен  \({t^3}-4{t^2} + 5t-2\)  на многочлен  \(t-1:\)

Следовательно, многочлен  \({t^3}-4{t^2} + 5t-2\)  раскладывается на множители  \(\left( {{t^2}-3t + 2} \right)\left( {t-1} \right).\)  Тогда:

\(t\left( {{t^3}-4{t^2} + 5t-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {{t^2}-3t + 2} \right)\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,}\\{t = 2,\,}\\{t = 1,\,\,}\\{t = 1\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = 2,}\\{t = 1.\,}\end{array}} \right.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0,}\\{t = 1,\,}\\{t \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le 0,}\\{\lg x = 1,\,}\\{\lg x \ge 2\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg 1,\;\;\;\;\,}\\{\lg x = \lg 10,\;\,\,}\\{\lg x \ge \lg 100\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 1,}\\{x = 10,\;\,\;\,}\\{x \ge 100.\;\,}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left\{ {10} \right\} \cup \left[ {100;\;\infty } \right).\)