\({2^{\lg \left( {{x^2}-4} \right)}} \ge {\left( {x + 2} \right)^{\lg 2}}.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-4 > 0,}\\{x + 2 \ge 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-2;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\)
Так как \({a^{{{\log }_c}b}} = {a^{\dfrac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\dfrac{1}{{{{\log }_a}c}}}} = {b^{{{\log }_c}a}},\) то исходное неравенство примет вид:
\({2^{\lg \left( {{x^2}-4} \right)}} \ge {2^{\lg \left( {x + 2} \right)}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\lg \left( {{x^2}-4} \right) \ge \lg \left( {x + 2} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-4 \ge x + 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-4} \right)-\left( {x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)-\left( {x + 2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2} \right)\left( {x-3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)
Так как ОДЗ \(x \in \left( {2;\infty } \right),\) то решение неравенства будет иметь вид: \(x \in \left[ {3;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {3;\;\infty } \right).\)