8В. Решите неравенство \(1-\frac{1}{{{{\log }_{x-1}}0,1}} \le \frac{2}{{{{\log }_{x + 17}}100}}\).
\(1-\frac{1}{{{{\log }_{x-1}}0,1}} \le \frac{2}{{{{\log }_{x + 17}}100}}.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 > 0,\;\,\;}\\{x-1 \ne 1,\,\;\;\,}\\{x + 17 > 0,}\\{x + 17 \ne 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\,}\\{x \ne 2,\;\;\,\;}\\{x > -17,}\\{x \ne -16.}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Следовательно, ОДЗ: \(x\, \in \,\left( {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству. Воспользуемся свойством: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}.\) \(1-\frac{1}{{{{\log }_{x-1}}0,1}} \le \frac{2}{{{{\log }_{x + 17}}100}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-\frac{1}{{{{\log }_{x-1}}{{10}^{-1}}}} \le \frac{2}{{{{\log }_{x + 17}}{{10}^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 + \frac{1}{{{{\log }_{x-1}}10}} \le \frac{2}{{2{{\log }_{x + 17}}10}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{10}}10 + {\log _{10}}\left( {x-1} \right) \le {\log _{10}}\left( {x + 17} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{10}}\left( {10\left( {x-1} \right)} \right) \le {\log _{10}}\left( {x + 17} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;10x-10 \le x + 17\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9x \le 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 3.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right].\) Ответ: \(\left( {1;\;2} \right) \cup \left( {2;\;3} \right].\)
