\({\log _3}\left( {{{81}^x} + {{16}^x}-18 \cdot {4^x} + 32} \right) \ge 4x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _3}\left( {{{81}^x} + {{16}^x}-18 \cdot {4^x} + 32} \right) \ge {\log _3}{3^{4x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\({81^x} + {16^x}-18 \cdot {4^x} + 32 \ge {81^x}.\)
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, не меньше показательной функции \({81^x}\), значение которой больше нуля при \(x \in R,\) поэтому исследовать ОДЗ \({81^x} + {16^x}-18 \cdot {4^x} + 32 > 0\) не требуется. Тогда полученное неравенство примет вид: \({16^x}-18 \cdot {4^x} + 32 \ge 0.\)
Пусть \({4^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\({t^2}-18t + 32 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t-16} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 2,\;\,}\\{t \ge 16.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^x} \le 2,\,}\\{{4^x} \ge 16}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{2x}} \le {2^1},}\\{{4^x} \ge {4^2}\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 0,5,}\\{x \ge 2.\;\;\;}\end{array}} \right.} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;0,5} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0,5} \right] \cup \left[ {2;\;\infty } \right).\)