81В. Решите неравенство \(\left( {2x + 1} \right){\log _5}10 + {\log _5}\left( {{4^x}-\dfrac{1}{{10}}} \right) \le 2x-1\).
ОТВЕТ: \(\left( {-{{\log }_4}10;\;-{{\log }_4}5} \right].\)
\(\left( {2x + 1} \right){\log _5}10 + {\log _5}\left( {{4^x}-\dfrac{1}{{10}}} \right) \le 2x-1.\) Найдём ОДЗ: \({4^x}-\dfrac{1}{{10}} > 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^x} > {4^{{{\log }_4}\dfrac{1}{{10}}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > {\log _4}\dfrac{1}{{10}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x > -{\log _4}10\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-{{\log }_4}10;\infty } \right).\) Вернёмся к исходному неравенству: \(\left( {2x + 1} \right){\log _5}10 + {\log _5}\left( {{4^x}-\dfrac{1}{{10}}} \right) \le 2x-1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}{10^{2x + 1}} + {\log _5}\left( {{4^x}-\dfrac{1}{{10}}} \right) \le \left( {2x-1} \right){\log _5}5\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _5}\left( {{{10}^{2x + 1}} \cdot \left( {{4^x}-\frac{1}{{10}}} \right)} \right) \le {\log _5}{5^{2x-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{10^{2x}} \cdot 10 \cdot {4^x}-{10^{2x}} \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{{10}} \le {5^{2x-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;10 \cdot {400^x}-{100^x} \le \dfrac{{{{25}^x}}}{5}\left| {:{{25}^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;10 \cdot {16^x}-{4^x}-\dfrac{1}{5} \le 0.\) Пусть \({4^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(10{t^2}-t-\dfrac{1}{5} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;50{t^2}-5t-1 \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {10t + 1} \right)\left( {5t-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;-\dfrac{1}{{10}}\; \le t \le \dfrac{1}{5}.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^x} \ge -\dfrac{1}{{10}},}\\{{4^x} \le \dfrac{1}{5}\;\;\,\,\;\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^x} \ge -\dfrac{1}{{10}},}\\{{4^x} \le {4^{{{\log }_4}\dfrac{1}{5}}}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\,\;\;\;\;\,}\\{x \le {{\log }_4}\dfrac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le -{\log _4}5.\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-{{\log }_4}10;\;-{{\log }_4}5} \right].\) Ответ: \(\left( {-{{\log }_4}10;\;-{{\log }_4}5} \right].\) 