85В. Решите неравенство  \(\frac{{1-\sqrt {1-4\log _8^2x} }}{{{{\log }_8}x}} < 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\)

Решение

\(\frac{{1-\sqrt {1-4\log _8^2x} }}{{{{\log }_8}x}} < 2.\)

Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение:  \(x > 0.\)

Пусть  \({\log _8}x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:  \(\frac{{1-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t} < 2.\)

Запишем ограничение на подкоренное выражение:

\(1-4{t^2} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\frac{1}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-\frac{1}{2}} \right)\left( {t + \frac{1}{2}} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\, \in \,\left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

\(\frac{{1-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t}-2 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{1-2t-\sqrt {1-4{t^2}} }}{t} < 0.\)

Решим последнее неравенство методом интервалов при условии, что \(t\, \in \,\left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\). Найдём нули числителя:

\(1-2t-\sqrt {1-4{t^2}}  = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1-4{t^2}}  = 1-2t\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2t \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{1-4{t^2} = {{\left( {1-2t} \right)}^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le \frac{1}{2},\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\,}\\{t = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \(t \ne 0.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{2} \le t < \frac{1}{2},}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-\frac{1}{2} \le {{\log }_8}x < \frac{1}{2},}\\{{{\log }_8}x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_8}\frac{{\sqrt 8 }}{8} \le {{\log }_8}x < {{\log }_8}\sqrt 8 ,}\\{{{\log }_8}x \ne {{\log }_8}1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 2 }}{4} \le x < \sqrt 8 ,}\\{x \ne 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\;1} \right) \cup \left( {1;\;\sqrt 8 } \right).\)